对数学家而言，
维度指的是一种“自由度”，
也就是在空间中运动的独立程度。
在我们头上飞来飞去的苍蝇可以向任何方向自由移动，
只要没有碰到障碍，
它就拥有三个自由度。
但维度是不是就只有那么多？
望远镜的发明以及随后多年以来的不断改良，帮助我们确认了一项事实：宇宙比我们能看到的还要浩瀚、广大。事实上，目前所能得到的最佳证据显示，宇宙将近四分之三是以一种神秘、看不见的形式存在，称为“暗能量”(dark energy)，其余大部分则是“暗物质”(dark matter)，再剩下来构成一般物质（包括我们人类在内）的，只占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物质在各方面都是“暗的”：既看不见，也难以测度。
我们所能看见的这一小部分的宇宙，构成了一个半径大约137亿光年的球体。这一球体有时被称为“哈勃体”(Hubble volume)，但是没人相信宇宙的整体范围只有如此而已。根据目前所得的最佳数据，宇宙似乎是无穷延伸的——不管我们向哪个方向看去，如果你画一条直线，真的可以从这里一直延伸到永恒。
不过，宇宙仍有可能是弯曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也会非常微小，以至于根据某些分析显示，宇宙必然至少有上千个哈勃体那么大。
最近发射的普朗克太空望远镜，或许会在几年内揭露宇宙可能比一百万个哈勃体还大，而我们所在的哈勃体只是其中之一而已。我相信天文物理学家的这一说法，也了解有些人可能会对上面引述的数字有不同意见，但无论如何，有个事实是不容辩驳的：我们目前所见到的，不过是冰山一角。
而在另一个极端，显微镜、粒子加速器以及各种显影仪器持续揭露宇宙在微小尺度上的面貌，显现了人类原先无法触及的世界，像细胞、分子、原子，以及更小的物体。如今我们不再对这一切感到惊讶，完全可以期待望远镜会向宇宙的更深处探索。另一方面，显微镜和其他仪器则会把更多不可见之物转为可见，呈现在我们眼前。
最近几十年间，由于理论物理学的发展，再加上一些我有幸参与的几何学进展，带来了一些更令人惊讶的观点：宇宙不仅超出我们所能看见的范围，而且可能还有更多的维度，比我们所熟悉的三个空间维度还要多一些。
当然，这是个令人难以接受的命题。因为关于我们这个世界，假如有件事是我们确知的，假如有件事是从人类开始有知觉时就知道，是从开始探索世界时就晓得的，那就是空间维度的数目。这个数目是三。不是大约等于三，而是恰恰就是三。至少长久以来我们是这样认定的。但也许，只是也许，会不会还有其他维度的空间存在，只不过因为它太小，以至于我们无法察觉呢？而且尽管它很小，却可能扮演非常重要的角色，只是从人们习以为常的三维视野无法体认到这些罢了！
这个想法虽然令人难以接受，但从过去一个世纪的历史得知，一旦离开日常经验的领域，我们的直觉就不管用了。如果运动速度非常快，狭义相对论告诉我们，时间就会变慢，这可不是凭直觉可以察觉到的。另外，如果我们把一个东西弄得非常非常小，根据量子力学，我们就无法确知它的位置。如果做实验来判定它在甲门或者乙门的后面，我们会发现它既不在这儿也不在那儿，因此它没有绝对的位置，有时它甚至可能同时出现在两个地方！换言之，怪事可能发生，而且必将发生。微小、隐藏的维度可能就是怪事之一。
如果这种想法成真，那么可能会有一种边缘性的宇宙，一处卷折3在宇宙侧边之外的地域，超出我们的感官知觉，而这会在两方面具有革命意义：单仅是更多维度的存在——这已经是科幻小说一百多年来的注册商标——这件事本身就够令人惊讶，足以列入物理学史上的最重大发现了。而且这样的发现将会是科学研究的另一起点，而非终点。这就好像站在山丘或高塔上的将军，得益于新增加的垂直向度，而能把战场上的局势看得更清楚。当从更高维的视点观看时，我们的物理定律也可能变得更明晰，因而也更容易理解。
P5-8
本书引领读者探索一个奇怪又奇妙的可能性：我们看到的三维空间可能不是字宙中唯一的几个维度。由数学大师为我们从头细说。深度讲解这个近代理论物理学最令人兴奋、争论缤纷的发展。
——格林，哥伦比亚大学物理教授，《宇宙的琴弦》等畅销书作者
《大字之形》风格独特：除了描述过去四十年几何分析和弦理论的发展，以及指出未来的方向之外，同时也是本半自传。这本书让我们得以了解近代最重要、最有影响力数学家之一的思维以及洞见。
——多纳森，伦敦皇家学院理论数学教授兼数学研究院院长
《大字之形》把读者带上了探访现代几何与物理学的美丽领域，以及当代在此领域做出贡献的人物的奇妙旅程，我极力推荐给富有求知欲的读者。
——格罗斯，诺贝尔物理学奖获得者，格鲁克理论物理教授
每天吃个甜甜圈，想想卡拉比-丘流形
最近，威滕与史聪闽格在普林斯顿见面。
当时他一番沉思之后说：
“在二十多年前，谁会想到在卡拉比-丘流形上研究弦论会这么有趣。
我们挖掘得愈深，就学得愈多，
因为卡拉比-丘流形是非常丰富又核心的构造。”
最近某天，我们两人中比较不擅长数学的那位，站在哈佛大学杰弗逊实验室理论群的廊厅，等着和史聪闵格谈话，他当时正专注地与一位同事热烈讨论着。几分钟后，瓦法从研究室里头冲了出来，随后史聪闵格跟着向我道歉他的迟到，他说：“康朗（瓦法）有个和卡拉比-丘流形有关的新鲜想法，等不及要跟我分享。”他停顿了一下后又补了句话：“我好像每天都会听到一个关于卡拉比-丘流形的新点子。”不过再思考了一阵子后，史聪闵格把“每天”减成“每周”
如果检视过去几年发表的学术论文，其中标题包含“卡拉比-丘”一词的频率大概每周有一篇以上，这相当符合史聪闵格的观察，不过以上计数的只是英文学术论文而已。这表示卡拉比-丘流形既不是第一次弦论革命遗留下来的过时古董，也不是只具有历史趣味的数学珍玩。这个流形仍然活得自在而又生气勃勃，就算不是巴黎时尚的新宠，也至少仍然是数学家与理论物理学家囊中必备的重要配备。
比起20世纪80年代晚期。现在的情况算是相当不错了。当时有许多物理学家认为卡拉比-丘流形像是恐龙一样过时，而整个研究领域则注定要失败。对于卡拉比-丘流形热烈支持者如我（两位作者中数学比较好的那位），当时经常被告知说，我们所谈的都是胡扯。在那个年代。坎德拉斯在申请计划时还曾收到恶劣的审查意见，而且经费遭受大量削减。削减的理由竟然只是因为他还在研究卡拉比-丘流形这种“早已过气的用语”。这种情形不只发生在他一人身上。一位当时在哈佛大学执教的物理学家。甚至用“你们这些白痴为什么还在研究这个愚蠢理论？”这种更强烈的言辞来批评整套研究框架。虽然我当时对他的质疑相当震惊。不过在经过二十年的持续深思之后，我找到了似乎很适切的回应：“先生。也许这一点都不愚蠢。”
史聪闵格也不能同意那些说法。卡拉比-丘流形在他的职业生涯中扮演了重要的角色，事实上，在物理学里能证明这类流形重要性的。史聪闵格的建树可能比任何人都多。“到现在卡位比-丘流形竟然还扮演着核心的角色。实在很令人惊讶。”史聪闵格说，“不断有不同的想法冒出来。黑洞的故事只是其中一个例子。”另一个例子则牵涉到以八维卡拉比一丘流形来实现标准模型的新想法，其中多出来的两维空间由弦耦合常数来决定。这些讨论见于瓦法、贝斯理(Chris Beasley)、赫克曼三人，以及另一组研究者多拿吉与韦恩贺特(Martijn Wijnholt)各自独立完成与发表的论文。
“一个概念能够盘据舞台中央这么久是很罕见的事。”谈到卡拉比-丘流形在弦论中的支配地位，史聪闵格补充说，“它不是因为历史上的重要性才在台上盘桓不去，也不是一帮80年代的老人们在缅怀昔日的美好时光，而是因为这个观念仍然不断的长出新枝，萌生新芽。”
在廊厅对角的研究室是史聪闵格的合作者瓦法，他也同意说：“如果你感兴趣的是四维的规范理论，可能以为这和卡拉比-丘流形一点也扯不上边。但是错了，这不但和卡拉比-丘流形有关。而且更和复三维卡拉比-丘流形有关，这是弦论最感兴趣的部分。同理。你或许以为黎曼面和复三维卡拉比-丘流形无关，但是在后者的脉络童研究黎曼面，却能得到理解这类曲面的关键。”
然后还有威滕，物理学家有时称他为爱因斯坦的继承人（如果弦论最后被证明为真，这算是公平的评比）。我们可以说威滕和卡拉比-丘流形有着很亲密的关系，就像他和整个弦论的关系一样。威滕对前两次的弦论“革命”有卓著的贡献，如果还有第三次革命的话，他也很可能会插足其中。就像格林恩说的：“我的每一项研究。如果追溯其知识上的根源，最后无不停在威滕的脚边。”
最近，威滕与史聪闵格在普林斯顿见面。当时他一番沉思之后说：“在二十多年前，谁会想到在卡拉比-丘流形上研究弦论会这么有趣。我们挖掘得愈深，就学得愈多，因为卡拉比-丘流形是非常丰富又核心的构造。”威滕补充说，几乎每当我们找到观看弦论的新方法，卡拉比-丘流形就会帮忙我们提供基本的范例。
事实上，几乎所有弦论中的主要计算都是在卡拉比-丘的框架中进行的，因为这是少数我们知道如何计算的空间。加州大学圣塔芭芭拉分校的数学家莫理森将此归功于由证明卡拉比猜想所得到“卡拉比-丘定理”，他说：“因此研究者可以运用代数几何学的技巧，让我们在原则上可以研究与分析卡拉比-丘流形。但是非凯勒流形或者M理论中很重要的七维G2流形，就缺乏具备类似威力的技巧。结果就是许多进展都来自于卡拉比-丘流形，因为我们拥有研究它的工具，而其他的解却没有。”就这样的意义而言，其实是卡拉比-丘流形提供了进行实验（至少是思想实验）的实验室，可以用来学习弦论，甚至是我们的字宙。
“卡拉比-丘流形是人类心灵力量的证明。原先人们将它当作纯粹的数学对象研究，直到它在物理学扮演了耀眼的角色。”斯坦福大学数学家瓦基尔（Ravi Vakil）指出，“我们没有强迫大自然接受卡拉比-丘流形，但是大自然似乎在强迫我们接受它。”
不过这绝不是说，卡拉比-丘流形一定是最后的拼图，也不是说人们必须生存在卡拉比-丘流形上。研究卡拉比-丘流形。让物理学家和数学家学习到许多有趣和出乎意料的知识，不过它不能解释所有事情，也不能带领我们到任何想去的地方。不过卡拉比-丘流形虽然不见得是最终的目的地，却是“带领我们走向深一层理解的踏脚石”。史聪闵格如是说。
从数学家的观点（我想这是我唯一拥有权威发言的立场），我们尚未彻底了解卡拉比-丘流形。我甚至怀疑是否真能巨细靡遗地理解这类空间，其中一个理由是因为即使连复一维的卡位比-丘流形，在数学上也还是谜样的存在。复一维的卡拉比-丘流形一般称为椭圆曲线(ellipticcurve)，可以表示成三次复系数议程式的解。几百年来，三次多项式(例如像y2=x3+ax+b)一直是令数学家着迷的课题。虽然方程式看起来很简单，上过高中代数课的学生也会觉得熟悉，不过这些方程式的解有许多深刻的谜团，可以将学者直接传送到数学最前沿的研究地带。举例来说，怀尔斯(Andrew Wiles)著名的费马最后定理证明，就是一直绕着理解椭圆曲线打转。而且尽管已经有怀尔斯的杰出研究，椭圆曲线或复一维卡拉比-丘流形仍然有许多悬而未解的问题。目前都还看不出解决的方向。
我们相信椭圆曲线的高维推广（例如复三维的卡拉比-丘流形），在数学上也能提供许多类似的深刻谜题。因为数学家经常从特例（例如椭圆曲线）出发，通过更普遍与更高维（甚至任何维度）的架构来研究并学习新知识。在这方面，复二维卡拉比-丘流形（也就是K3空间）的研究，已经协助解决了一些数论上的问题。
不过这些研究才刚起步，也还不知道未来的方向如何。在现阶段，我们可以公允地说，不管谈的是K3空间还是其他卡拉比-丘空间，这些都还只是初窥堂奥而已。这正是为何我相信，除非掌握大量能够贯串几何学、数论与分析学的数学知识，否则我们不可能彻底理解这类空间。
或许有些人认为这是坏消息，我个人倒觉得是好事。卡拉比-丘流形就像数学本身一样，是在曲折蜿蜒的道路上不断发展进行的故事，永远有更多东西要学和更多工作要完成。对于烦恼是否能继续获聘、继续殚精竭虑或继续享受知性之乐的人来说，这表示我们的前途仍然充满了挑战与乐趣。
序曲 从柏拉图到宇宙未来的形貌
第1章 想象边缘的宇宙
第2章 自然秩序中的几何
第3章 打造数学新利器
第4章 美到难以置信：卡拉比猜想
第5章 证明卡拉比（是错？是对？）
第6章 弦论的DNA
第7章 穿越魔镜
第8章 时空中的扭缠
第9章 回归现实世界
第10章 超越卡拉比一丘
第11章 宇宙解体（想知道又不敢问的世界末日问题）
第12章 寻找隐藏维度的空间
第13章 数学·真·美
第14章 几何的终结？
后记 每天吃个甜甜圈，想想卡拉比一丘流形
终曲 进入圣堂，必备几何
庞卡莱之梦
附录1 了解三个重要概念：空间、维度、曲率
附录2 名词解释
附录3 原文注释
索引
译后记 对曲抚弦好时光
希望年轻人能理解数学之美，以及我做学问的精神
十多年来，我花了不少时间到世界各地做通俗演讲，向听众解释数学的美妙。每次演讲完后，总觉得意犹未尽，后来又因为一些机缘，激发我的兴趣，想写一本给一般大众阅读的科普书。《大字之形》(The Shape of Inner Space)就是这样的一本书，是我和纳迪斯先生(Steve Nadis)合写的。写作过程并不容易，前后花了我们四年的工夫。
2002年，浙江大学数学所成立，我邀请了一批有国际声望的数学和物理学家来参加学术会议，其中包括霍金(Stepher Hawking)、大卫·格罗斯(David Gross)、威滕(Edward Witterl)等闻名遐迩的大师。其中最引人注目的是霍金的演讲，当时整个浙江都轰动起来，有超过三千位听众在大球场上听讲。后来在北京的国际弦理论大会上，我们决定霍金的演讲不收入场费。但要凭入场券入场，没想到一票难求，黄牛票竟卖到人民币二百元以上。当时中国国家主席江泽民在中南海接见上述来宾时，很高兴地表扬了“霍金热”，媒体更是一致称颂。但是有些物理学家并不满意媒体的报道。认为他们未能好好解释霍金在科学上的成就，大多数人无从了解霍金这位物理大师的为人和学问。
当年，国际数学家大会(ICM)也在北京举行，知名的诺贝尔经济学奖得主、数学家纳什也参加了这次大会。我在开会前与他共进晚餐时，谈到一本描述他生平的书，以及该书改编的电影（即《美丽境界》[ABeautifulMind]及其同名电影。内地及香港地区则译为《美丽心灵》），纳什向我抱怨这本书的作者和电影的编剧，从来没有跟他交谈过，写出来与演出来的内容许多都跟事实不符。
到了2006年，我在北京再度召开国际弦理论大会，邀请许多物理学家和数学家与会，当然也邀请了上述2002年访问中国的大师。为了减轻大会的经济负担，我得到霍金教授的同意，让他的团队经过香港一行。但由于他的团队人数众多，香港中文大学无法支应经费，所以我请香港科技大学的郑绍远在科大举办一场霍金的演讲。没料到香港媒体极为兴奋，大肆宣传。后来在北京的大会上。更有六干多人在人民大会堂听霍金的演讲。当时湖南科学技术出版社已经翻译了霍金教授的畅销科普书。而在同一段时间，媒体也对当时数学庞加莱猜想的解决极感兴趣。然而无论中国或外国的媒体，都未能把握到这些科学成果的真意，殊为可惜。
这些经验让我体会到科普工作的重要性与难度，其中尤以撰写数学科普书更为困难。大部分数学科普作者太注重描述数学家个人的个性或轶闻，很少能真正触及数学吸引人之美与内在的真实。许多作者更因为害怕读者读不懂，往往将最精彩的地方一笔带过。甚至明知自己的解释有误，但为了读者容易阅读，就模模糊糊、将就过去。我很希望能写出一本数学科普书来矫正这种毛病。
于是，我找了纳迪斯来合写这本书，阐述我在毕业后十五年内的重要工作，并描述我在解决这些问题时所遇到的困难，以及克服问题后的喜悦感受，同时也在字里行间带出我与朋友和学生的交谊点滴。
一般来说，数学家很少会写出自己创作的经验，再加上我做的研究与物理学密切相关，所以写这本书时，自己觉得很有意思，希望年轻人或年轻学者能理解我做学问的精神。纳迪斯的文笔极好，他是一位擅长用通俗语言描述天文学的职业作家，虽然不很懂数学，却满怀学习的热情。这样的合作伙伴最是难得，因为我需要借比较简单的语言。描述深奥的数学内涵。通过纳迪斯的领会，总算能将这些想法向大众表达出来。从美国读者的反映知道，我们获得了一定程度的成功。而且如今，纳迪斯也成为数学专家了。
犹记得当年解决卡拉比猜想时，我心中的感觉可以用两句宋词贴切表达：
落花人独立
微雨燕双飞
我希望这本书的中文译本，能够将数学家、物理学家这种和大自然融成一体的美妙感觉表现出来。翁秉仁是我从前的博士生，精通数学，文笔很好。我感谢他与赵学信先生花了这么多宝贵的时间将这本书翻译出来，得其神韵，实在不易。
我衷心感谢给我们帮忙的人，除了英文序中提到的数学家和物理学家、纳迪斯、翁秉仁和赵学信外，我还要感谢远流出版社和湖南科学技术出版社出版这本书的中文译本。
丘成桐、史蒂夫·纳迪斯著的《大宇之形》讲述了从古希腊时代的几何学家到爱因斯坦、卡拉比以及丘成桐自己对几何学的研究，叙述了作者几十年来成果的来龙去脉以及心路历程。读者从书中可以深切了解近代数学和物理学研究的重要进展，并体会到这些科学家的研究精神。
《大宇之形》是菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐的科普佳作，主要讲述了他的思想演化，同时引介了众多现代数学家。1976年，年方27岁的丘成桐解决了微分几何中的一个著名难题“卡拉比猜想”，其结果被称为“卡拉比-丘流形”，后来被应用在物理学的弦理论中，成为描述宇宙空间的理论基石。1979年，他又证明了每个符合爱因斯坦方程的解都具有正总质能量，确认平直时空的稳定性。因此，他的研究橫跨数学和物理两大领域。读者可以与物理学家的弦论经历相互参照，看到数学与物理的相互影响和促进。
随书附赠价值39.6元由汪洁、吴京平掰开揉碎,带你懂科学好书的《经典科普解读课》6折券。